已知▱ABCD中，若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．

题目

已知▱ABCD中，若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．

答案

过A作AH⊥CD，垂足为H，设AH=x，过F作FM⊥CD，垂足为M，MF的延长线交AB于N，设FM=h，（x＞h），
依题意应有：S_△DAE=AE×

x

2

=5，
解得AE=

10

x

，
S_△EBF=EB×

x−h

2

=3，
解得BE=

6

x−h

，
∵S_△CFD=CD×

h

2

=4，CD=AB=AE+BE=

10

x

+

6

x−h

，
∴（

10

x

+

6

x−h

）×

h

2

=4，
整理，得4x²-12xh+5h²=0，
即（2x-h）（2x-5h）=0，
∵x＞h，
∴2x=h（舍去），2x=5h，
∴CD=

10

x

+

6

x−h

=

8

h

，
∴S_{平行四边形ABCD}=x•CD=x×

8

h

，
=

5h

2

×

8

h

，
=20，
∴S_△DEF=S_{平行四边形ABCD}-S_△DAE-S_△EBF-S_△DCF，
=20-5-3-4，
=8．