如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE. (1)求证:∠AEC=∠C; (2)求证:BD=2AC.

如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE. (1)求证:∠AEC=∠C; (2)求证:BD=2AC.

题目
如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE.

(1)求证:∠AEC=∠C;
(2)求证:BD=2AC.
答案
(1)证明:∵AD⊥AB,
∴△ABD为直角三角形,
又∵点E是BD的中点,
∴AE=
1
2
BD,
又∵BE=
1
2
BD,
∴AE=BE,
∴∠B=∠BAE,
又∵∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B,
又∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=∠C.
(2)证明:∵∠AEC=∠C,
∴AE=AC,
又∵AE=
1
2
BD,
∴BD=2AE,
∴BD=2AC.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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