如图,AB是⊙O的直径,过B点作弦BC,OD⊥BC,垂足为E,若BC=8cm,∠ABC=30°,则DE的长为(  ) A.23 B.43 C.433 D.833

如图,AB是⊙O的直径,过B点作弦BC,OD⊥BC,垂足为E,若BC=8cm,∠ABC=30°,则DE的长为(  ) A.23 B.43 C.433 D.833

题目
如图,AB是⊙O的直径,过B点作弦BC,OD⊥BC,垂足为E,若BC=8cm,∠ABC=30°,则DE的长为(  )
A. 2
3

B. 4
3

C.
4
3
3

D.
8
3
3
答案
如图,连接AC.
∵AB是⊙O的直径(已知),
∴∠C=90°(直径所对的圆周角是直角),
∵OD⊥BC(已知),
∴∠BEO=∠C=90°,
∴OD∥AC(同位角相等,两直线平行),
点O是线段AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE=
1
2
AC.
∵在直角△ABC中,BC=8cm,∠ABC=30°,
∴AC=BC•tan∠ABC=8×
3
3
=
8
3
3
(cm),AC=
1
2
AB=OA=OD,
∴ED=OD-OE=AC-OE=
1
2
AC=
4
3
3
(cm).
故选C.
如图,连接AC.根据圆周角定理、三角形中位线定理求得OE=
1
2
AC;然后由图形知ED=OD-OE.

垂径定理;含30度角的直角三角形;勾股定理.

此题考查了圆周角定理、三角形中位线的性质、以及平行线的判定与性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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