大一高数 证明题一道(利用中值定理)
题目
大一高数 证明题一道(利用中值定理)
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,试证明存在ξ属于(a,b),使2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(ξ)
ps:不能用柯西中值定理
答案
设F(x)=f(x)-f(a)-(x²-a²)(f(b)-f(a))/(b²-a²)
则F(a)=F(b)=0,F(x)在[a,b]上满足中值定理条件
∴存在ξ∈(a,b)使得F'(ξ)=0
即f'(ξ)-2ξ(f(b)-f(a))/(b²-a²)=0
即2ξ(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(ξ)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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