已知F1、F2是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形,其中∠BAF2=90°,

题目

已知F1、F2是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形,其中∠BAF2=90°,
椭圆离心率为e,求e^2=?

答案

顾西凉顾西森,
利用椭圆的几何定义：到两定点距离之和为定长的点的轨迹.
假设AF1长为d
∴AF2长为2a－d
∵AF2＝AB
∴BF1长2a－2d.
又∵ABF2是等腰Rt△
∴BF2＝√2×AF2＝√2×（2a－d）
∴得到方程：
√2×（2a－d）＋（2a－2d）＝2a
解得d＝2（√2－1）a.
对Rt△F1AF2利用勾股定理：
F1F2＝√（36－24√2）×a＝2√3×（√2－1）×a.
∴离心率e＝F1F2/2a＝√3×（√2－1）＝√6－√3
e^2＝（√6－√3）^2＝9－6√2