一个三棱锥的三条侧楞两两垂直,且侧棱长均为6,则其内切球的半径为_______.

题目

一个三棱锥的三条侧楞两两垂直,且侧棱长均为6,则其内切球的半径为_______.

答案

设:三棱锥为P-ABC.顶点为P,底面ABC为正三角形,其中心为Q.又设球心为O,则O点到三个侧面和底面的距离相等,设其值为:x.
有OP=根号(x^2+x^2+x^20 = x*根号3.OQ =x (1)
又球心必PQ上.连接BQ,知PQ = 根号{PB^2-BQ^2}
而BQ = (2/3)*[(根号3)/2]*6 = 2根号3.
故:PQ= 根号{36- 12}=2根号6.
注意到PQ =PO+OQ,(2)
由(1) ,(2) 得:x*根号3+x = 2根号6
即:x= [2根号6]/[(根号3)+1] =3(根号2)- 根号6.