如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠BAD=60°，PA=PD，E为PC的中点． （1）求证：PA∥平面EBD； （2）求证：△PBC是直角三角形．

题目

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠BAD=60°，PA=PD，E为PC的中点．

（1）求证：PA∥平面EBD；
（2）求证：△PBC是直角三角形．

答案

（本小题满分14分）
证明：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，连接OE，则O为AC的中点．
∵E为PC的中点，
∴EO∥PA．
∵EO⊂平面EBD，PA⊄平面EBD，
∴PA∥平面EBD．
（2）设F为AD的中点，连接PF，BF．
∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴BF⊥AD．∵PF∩BF=F，
∴AD⊥平面PBF．
∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBF．
∵PB⊂平面PBF，
∴PB⊥BC．
∴△PBC是直角三角形．