已知函数f(x)＝1/3x3+1/2ax2+2bx(a，b∈R)，且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则a2+b2+6a+9的取值范围是_．

题目

已知函数f(x)＝

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)，且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则

a2+b2+6a+9

的取值范围是______．

答案

f′（x）=x²+ax+2b，由题意，

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

，
又

a2+b2+6a+9

的几何意义是点（a，b）与（-3，0），
利用点（a，b）所确定的区域可求得其取值范围是(

2

2

，2)，
故答案为(

2

2

，2)

三次函数导函数是二次函数，开口向上，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，利用导函数可建立关于a，b的不等式，利用线性规划的知识可以求出取值范围．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；两点间距离公式的应用．

考点点评：利用函数在区间内取极值转化为导数为0的根在所在区间内是解题的关键，同时正确得出可行域，利用目标函数的几何意义解题是处理这道问题的技巧所在．