线代中证明A,B是n阶方阵,（A-B)(A+B)=A^2-B^2的充要条件是AB=BA

题目

线代中证明A,B是n阶方阵,（A-B)(A+B)=A^2-B^2的充要条件是AB=BA
还有一个哈,就是证明(A+B)^2=A^2+2AB+B^2的充要条件是AB=BA

答案

(A-B)(A+B)=A^2-B^2的充要条件是AB=BA
证明：
1) "==>"
(A-B)(A+B) = AA+AB-BA-BB = AA-BB --> AB-BA=0
2) "<=="
AB=BA --> AB-BA=0 -->
AA-BB = AA+AB-BA-BB = A(A+B)-B(A+B) = (A-B)(A+B)