矩阵r(A^2)=r(A),A^4=A^2能得出A^3=A吗?

题目

矩阵r(A^2)=r(A),A^4=A^2能得出A^3=A吗?
还有个条件,A^2是Hermite阵

答案

A^2是Hermite阵===》A^2的特征值是实数.
A^2=A^4=（A^2）^2
===》A^2的特征值为0,1,并且可以对角化
r(A)=r(A^2)
===》A的特征值为0,正负1,并且可以对角化
===》可以