双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1与圆x^2+y^2-10x+20=0无公共点,则双曲线离心率的取值范围是?
题目
双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1与圆x^2+y^2-10x+20=0无公共点,则双曲线离心率的取值范围是?
a>0,b>0
答案
圆方程为:x^2+y^2-10x+20=0,变成(x-5)^2+y^2=(√5)^2,
则方程是以(5,0)为圆心,√5为半径的圆,
要使双曲线和圆无公共点,则在极限位置双曲线的二渐近线是圆的切线,
设经过圆心的两条切线方程为:y=±kx,
先看一条,y=kx,
圆心(5,0)至切线距离d,根据点线距离公式,d=|5*k-0*1|/√(1+k^2)=√5,
|k|=1/2,
|k|最小为1/2,
切线方程为双曲线的渐近线方程,y=±(a/b)x,
则a/b=|k|,
b=a/|k|,
c=√(a^2+a^2/k^2)=a√(1+k^2)/|k|,
离心率e=c/a=√(1+k^2)/|k|=√(1+1/k^2)
|k|越大,e越小,k→∞,e→1,(接近Y轴),
反之,|k|越小,分数e越大,当到极限位置,至圆的切线时,即|k|=1/2时,圆的切线就是双曲线的渐近线,e=√5,此时虽和圆相切,但并没有和双曲线相交,
∴1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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