不定积分a^x,不定积分lnx公式推导
题目
不定积分a^x,不定积分lnx公式推导
答案
对lnx的积分,唯有分部积分法
∫ lnx dx = x * lnx - ∫ x d(lnx)
= xlnx - ∫ x * 1/x dx
= xlnx - x + C
对a^x的积分,用∫ e^(kv) dv = (1/k)e^(kv)
则∫ a^x dx
= ∫ e^[ln(a^x)] dx,有ƒ(x) = e^[lnƒ(x)]
= ∫ e^(x * lna) * 1/lna * (lna dx)
= (1/lna)∫ e^(x * lna) d(x * lna)
= (1/lna) * e^(x * lna) + C
= (a^x)/lna + C
或令y = a^x
lny = ln(a^x) = x * lna,两边求导
1/y * dy/dx = 1 * lna
dy/dx = y * lna = a^x * lna,两边取积分
y + C' = ∫ a^x * lna dx
即lna * ∫ a^x dx = a^x + C'
==> ∫ a^x dx = (a^x)/lna + C,其中(C = C'/lna)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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