∫（1/√（1-（sinx）^4))dx怎么算啊

题目

∫（1/√（1-（sinx）^4))dx怎么算啊

答案

∫（1/√（1-（sinx）^4)dx
=∫1/√{[（1-（sinx）^2][（1+（sinx）^2]}dx
=∫1/√{cosx^2[（1+（sinx）^2]}dx
=∫(sin^2x+cos^2x)/{|cosx|√[（1+（sinx）^2]}dx
=∫sin^2x/{｜cosx｜√[（1+（sinx）^2]}dx+∫cos^2x/{｜cosx｜√[（1+（sinx）^2]}dx (cosx>0时)
=∫sin^2x/{cosx√[（1+（sinx）^2]}dx+∫cos^2x/{cosx√[（1+（sinx）^2]}dx
=∫sinxtanx/√[（1+（sinx）^2]dx+∫cosx/√[（1+（sinx）^2]dx
=∫cosxtan^2x/√[（1+（sinx）^2]dx+∫cosx/√[（1+（sinx）^2]dx
=∫cosx(sec^2x-1)/√[（1+（sinx）^2]dx+∫cosx/√[（1+（sinx）^2]dx
=∫cosxsec^2x/√[（1+（sinx）^2]dx
=∫sec^2x/√[（1+（sinx）^2]dsinx
令sinx=t,x=arctant,dx=1/(1+t^2)dt,cos^2x=1-t^2,sec^2x=1/cos^2x=1/(1-t^2)
∫sec^2x/√[（1+（sinx）^2]dsinx
=∫1/{(1-t^2)√(1+t^2)}dt
=∫(1-t^2+t^2)/{(1-t^2)√(1+t^2)}dt
=∫1/√(1+t^2)dt+∫t^2/{(1-t^2)√(1+t^2)}dt
=ln[√(1+t^2)+t]+∫t^2/{(1-t^2)√(1+t^2)}dt
∫t^2/{(1-t^2)√(1+t^2)}dt
= 1/2∫t/{(2-1-t^2)√(1+t^2)}dt^2
=∫t/(2-1-t^2)d√(1+t^2)
=∫t/{2-[√（1＋t^2)]^2}d√(1+t^2)
=1/2√2∫tdln{[√2-√（1＋t^2)]/[√2+√（1＋t^2)]}
=√2/4*ln{[√2-√（1＋t^2)]/[√2+√（1＋t^2)]}t+∫ln{[√2-√（1＋t^2)]/[√2+√（1＋t^2)]}dt
∫ln{[√2-√（1＋t^2)]/[√2+√（1＋t^2)]}dt
=∫ln[√2-√（1＋t^2)]dt-∫ln[√2+√（1＋t^2)]}dt
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