已知数列{an}满足：a1＝a2−2a+2，an+1＝an+2(n−a)+1，n∈N*，当且仅当n=3时，an最小，则实数a的取值范围为（　　） A.（-1，3） B.(52，3) C.(52，72)

题目

已知数列{a_n}满足：a

答案

由a_n+1=a_n+2（n-a）+1
得：a₂=a₁+2（1-a）+1
    a₃=a₂+2（2-a）+1
    a₄=a₃+2（3-a）+1
…
    a_n=a_n-1+2（n-1-a）+1
累加得：a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）-（n-1）a]+n-1
=a1+2

(n−1)n

2

−2(n−1)a+n−1
因为a1＝a2−2a+2，所以an＝a2−2a+2+n2−n−2an+2a+n−1=n²-2an+a²-1
设f(n)＝an＝n2−2an+a2−1，该函数开口向上，对称轴方程为n＝−

−2a

2

＝a，
因为n∈N^*，所以当

5

2

＜a＜

7

2

时，f（n）=a_n最小．
故选C．