在abc中,AB=37 AC=58,D在线段BC上,且AD等于AB.若BD DC的长均为整数则BC=?

题目

在abc中,AB=37 AC=58,D在线段BC上,且AD等于AB.若BD DC的长均为整数则BC=?

答案

作AE垂直于BC,可得直角三角形AEC、AEB
设BE为x,BC为t,CE=BC-BE=t-x,因为AD=AB,AE为等腰三角形ABD的高,则E为BD中点,BD=2x
AE²=AB²-BE²=AC²-CE²
（37²-x²）=(58²-(t-x)²)
化简得t²-2xt=58²-37²=95*21=3*5*7*19
2x=(t²-95*21)/t=t-3*5*7*19/t=BD
因为BD CD为整数,则BC=t为整数
由于BC=t为三角形ABC一边,则有
95=AC+AB＞BC=t＞AC-AB=21
95＞t＞21
且3*5*7*19/t为整数
则t=3*19=57
BC=57