如图,三角形OAB中,向量OA=向量a,向量OB=向量b,M,N分别是边OA,OB上的点,且向量OM=1/3a,向量ON=1/2b,

题目

如图,三角形OAB中,向量OA=向量a,向量OB=向量b,M,N分别是边OA,OB上的点,且向量OM=1/3a,向量ON=1/2b,
设向量AN与向量BM交于点P,试用向量a,b表示向量OP

答案

∵向量AN=向量AO+向量ON=1/2b-a,且向量AP与之共线
∴存在一不为0的实数m,使得向量AP=m向量AN
即向量AP=m/2b-ma
∴向量OP=向量OA+向量AP=(1-m)a+m/2b.第一个式子
∵向量BM=1/3a-b,且向量BP与之共线.（这一段其实与上面那段差不多）
∴存在一不为0的实数n,使得向量BP=n向量BM
即向量BP=n/3a-nb
∴向量OP=向量OB+向量BP=n/3a+(1-n)b.第二个式子
∴向量OP=(1-m)a+m/2b=n/3a+(1-n)b
∴1-m=n/3
m/2=1-n
∴m=4/5
n=3/5
∴向量OP=(1-m)a+m/2b
=1/5a+2/5b
（附上一个推论,用来做选择、填空很好用,但不能在大题里当公式直接用.
就是如果A,B,C三点共线,点O不与A、B、C共线,则向量OA=m向量OB+(1-m)向量OC,m属于R）