设f(x)在【0,+∞)连续,limf(x)=A(当x-->+∞),求证lim∫(0积分下限到x的积分上限)f(t)dt（当x-->+∞）

题目

设f(x)在【0,+∞)连续,limf(x)=A(当x-->+∞),求证lim∫(0积分下限到x的积分上限)f(t)dt（当x-->+∞）
第二问求证lim∫(0到1)f(nx)dx=a(当n-->∞)
也就是设计变上限积分的问题

答案

为简便略去极限号第一问：设A>0,由条件可知存在N>0,当x>N时,f(x)>A/2,原式=∫[0,N]f(t)dt+∫[N,x]f(t)dt>∫[0,N]f(t)dt+A(x-N)/2->+∞ (x->+∞)第二问：令t=nx,原式=n^{-1}∫[0,n)f(t)dt 然后用Stolz公式及积分中值...