求证关于X的一元二次不等式AX的平方减AX加1大于0对于一切实数X都成立的重要条件0大于A大于4

题目

求证关于X的一元二次不等式AX的平方减AX加1大于0对于一切实数X都成立的重要条件0大于A大于4

答案

证明：方程ax²-ax+1=0的判别式△=（-a)²-4a×1=a(a-4)
当a＜0时,△＞0,函数y=ax²-ax+1开口向下,与x轴有两个交点,
∴y=ax²-ax+1可正可负,对于一切实数X不一定都成立.
当0＜a＜4时,△＜0,函数y=ax²-ax+1开口向上,与x轴没有交点,
∴y=ax²-ax+1＞0,即对于一切实数X,ax²-ax+1＞0一定都成立.
当a＞4时,△＞0,函数y=ax²-ax+1开口向上,与x轴有两个交点,
∴y=ax²-ax+1可正可负,对于一切实数X不一定都成立.
所以,关于X的一元二次不等式ax²-ax+1＞0,对于一切实数X都成立的重要条件是
0＜a＜4