求下列函数在指定范围内的最大值和最小值 z=xy,x^2+y^2≤4

题目

求下列函数在指定范围内的最大值和最小值 z=xy,x^2+y^2≤4
z=xy,{(x,y)|x^2+y^2≤4}

答案

解由x^2+y^2≤4
设x=ksina,y=kcosa
故k^2sin^2a+k^2cos^2a≤4
即k^2≤4
即-2≤k≤2
则z=xy=ksinakcosa=k^2*1/2×2sinacosa
=1/2k^2sin2a
由-1≤sin2a≤1
即-1/2≤1/2sin2a≤1/2
又由k^2≤4
即-1/2k^2≤1/2k^2sin2a≤1/2k^2
即-2≤1/2k^2sin2a≤2
故-2≤z≤2
故函数z=xy在x^2+y^2=1上的最大值2和最小值-2.