已知数列an满足a1=1,an+1=2(1 1/n)的平方an

题目

已知数列an满足a1=1,an+1=2(1 1/n)的平方an
设bn+an/n平方,求证bn是等比数列
求数列an通项公式

题打错了an+1=2(1+ 1/n)的平方an

答案

a(n+1)=2(1+ 1/n)²an=2[(n+1)/n]²an=2an(n+1)²/n²
[a(n+1)²/(n+1)²]/(an/n²)=2,为定值.
a1/1²=1/1=1,数列{an/n²}是以1为首项,2为公比的等比数列
bn=an/n²,数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列
an/n²=1×2^(n-1)
an=n²×2^(n-1)
n=1时,a1=1²×1=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=n²×2^(n-1)
2^(n-1)表示2的 n-1 次方.