正整数x,y满足x^2=2y^2+1,证明x是奇数,y是偶数

题目

正整数x,y满足x^2=2y^2+1,证明x是奇数,y是偶数

答案

证：
2y^2包含因子2,因此2y^2为偶数,2y^2+1为奇数.x^2为奇数,只有奇数的平方才是奇数,因此x为奇数.
2y^2=x^2-1=(x+1)(x-1) 平方差公式
x为奇数,x+1,x-1均为偶数,即x+1,x-1都能被2整除,因此(x+1)(x-1)能被4整除,又2y^2除了y以外,只有因子2,因此y^2中包含因子2,这样才能被4整除,即y^2是偶数,只有偶数的平方是偶数,因此y是偶数.