求证:lnx+1/x−1/2(x−1)2≥1+2/3(1−x)3.
题目
答案
证明:设
f(x)=lnx+−(x−1)2−[1+(1−x)3](x>0),
则:
f′(x)=−−(x−1)+2(1−x)2=(x−1)3•,
令f'(x)=0解得:
x=1或x=−(舍),
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
∴当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=0,也是唯一极小值,
∴f(x)的最小值为f(1)=0,即:f(x)≥f(1)=0,
所以
lnx+−(x−1)2≥1+(1−x)3.
设
f(x)=lnx+−(x−1)2−[1+(1−x)3](x>0),求出它的导数f'(x),根据导数的符号判断函数的单调性,进而求得函数的最小值,从而证得不等式成立.
不等式的证明.
本题考查利用函数的最小值证明不等式的方法,函数的导数与函数的单调性的关系,求出f(x)的最小值是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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