求证:lnx+1/x−1/2(x−1)2≥1+2/3(1−x)3.

求证:lnx+1/x−1/2(x−1)2≥1+2/3(1−x)3.

题目
求证:lnx+
1
x
1
2
(x−1)2≥1+
2
3
(1−x)3
答案
证明:设 f(x)=lnx+
1
x
1
2
(x−1)2−[1+
2
3
(1−x)3](x>0)

则:f′(x)=
1
x
1
x2
−(x−1)+2(1−x)2=(x−1)3
2x+1
x2

令f'(x)=0解得:x=1或x=−
1
2
(舍)

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) 减函数 极小值 增函数
∴当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=0,也是唯一极小值,
∴f(x)的最小值为f(1)=0,即:f(x)≥f(1)=0,
所以lnx+
1
x
1
2
(x−1)2≥1+
2
3
(1−x)3
f(x)=lnx+
1
x
1
2
(x−1)2−[1+
2
3
(1−x)3](x>0)
,求出它的导数f'(x),根据导数的符号判断函数的单调性,进而求得函数的最小值,从而证得不等式成立.

不等式的证明.

本题考查利用函数的最小值证明不等式的方法,函数的导数与函数的单调性的关系,求出f(x)的最小值是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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