如图，AD是△ABC的角平分线，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是_． ①AD⊥BC；②△ABD与△ACD的面积相等；③BD=CD；④△ABD与△ACD的周长相等．

题目

如图，AD是△ABC的角平分线，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是______．

①AD⊥BC；②△ABD与△ACD的面积相等；③BD=CD；④△ABD与△ACD的周长相等．

答案

条件只有①，
理由是：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ADB和△ADC中

∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∠ADB＝∠ADC

∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
根据②推出BD=CD，但是不能推出△ADB≌△ADC，∴②错误；
根据③BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，但是不能推出△ABD≌△ACD，∴③错误；
根据④得出AB+BD=AC+CD，不能推出△ABD≌△ACD，∴④错误；
故答案为：①

求出∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，证△ADB≌△ADC，即可判断①；根据②得出BD=CD，但是不能推出△ADB≌△ADC，即可判断②③；根据周长相等推出AB+BD=AC+CD，但是不能推出△ADB≌△ADC，即可判断④．

本题考点：等腰三角形的判定．

考点点评：此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，解此题的关键是推出△ABD≌△ACD．