设f(x)是定义域在【-1,1】上的奇函数,g(x)与f(x)的图像关于x=1对称,当x属于【2,3】时,g（x）=-x^2+4x-4

题目

设f(x)是定义域在【-1,1】上的奇函数,g(x)与f(x)的图像关于x=1对称,当x属于【2,3】时,g（x）=-x^2+4x-4
1.求f（x）的解析式
2.对于任意的x1,x2属于【0,1】且x1≠x2.求证 ｛f（x2）-f（x1）｝的绝对值＜2倍｛x2-x1｝的绝对值
3.对于任一的x1,x2属于【0,1】且x1≠x2.求证 ｛f（x2）-f（x1）｝的绝对值≤1

答案

1.由g(x)与f(x)的图像关于x=1对称,可知f(1-t)=g(1+t)=g[2-(1-t)],
所以当x属于【-1,0】f(x)时,f（x）=g(2-x)=-(2-x)^2+4(2-x)-4=-x^2
因为f(x)是定义域在【-1,1】上的奇函数,所以当x属于【0,1】f(x)时,f（x）=x^2
2.对于任意的x1,x2属于【0,1】且x1≠x2,|f（x2）-f（x1）|=|x2^2-x1^2|=|x2+x1||x2-x1|