已知函数f（x）=3-2cosx-2sinx,其中x∈[0,2π],设g（x）=（sinx-1）/f（x）,求函数g（x）的值域

题目

已知函数f（x）=3-2cosx-2sinx,其中x∈[0,2π],设g（x）=（sinx-1）/f（x）,求函数g（x）的值域
如题

答案

解法1：设Y=g（x）=（sinx-1）/（3-2cosx-2sinx）
∴sinx-1=3Y-2Ysinx-2Ycosx
即（2Y+1）sinx+2Ycosx=3Y+1
∴√【（2Y+1）²+(2Y)²】 * sin（x+ψ)=3Y+1 ,其中tanψ=2Y/（2Y+1）
∴sin（x+ψ)=（3Y+1）/√（8Y²+4Y+1） ∈[ -1,1]
∴[sin（x+ψ)]²=【（3Y+1）/√（8Y²+4Y+1）】² ≤1
解得 -2 ≤Y≤0
所以函数g（x）的值域为[ -2,0] .
解法2：设t=tan(x/2) ,又sinx=2tan(x/2) / [1+【tan(x/2)】 ²] ,
cosx= [1-【tan(x/2)】 ²] / [1+【tan(x/2)】 ²]
∴Y=g(x)={2tan(x/2) / [1+【tan(x/2)】 ²] -1} / {3-2 * 2tan(x/2) / [1+【tan(x/2)】 ²]
-2 [1- 【tan(x/2)】 ²] / [1+【tan(x/2)】 ²] }
=(2t-t²-1)/（5t²-4t+1)
去分母整理得
(5Y+1)t²-(4Y+2)t+Y+1=0
当Y≠ -1/5 时,△=(4Y+2)²-4(5Y+1)（Y+1）≥0
解得 -2 ≤Y≤0
又因为 -1/5 ∈[ -2,0]
∴-2 ≤Y≤0
所以函数g（x）的值域为[ -2,0] .