设x趋向于零时lim { ln[1+f(x)/sin2x]}/（3的x次方－1）＝5,则当x趋向于零时lim （f(x)/x的平方）等于多

题目

设x趋向于零时lim { ln[1+f(x)/sin2x]}/（3的x次方－1）＝5,则当x趋向于零时lim （f(x)/x的平方）等于多

答案

(x->0)lim { ln[1+f(x)/sin2x]}/(3^x-1)=5
因为(x->0)lim(3^x-1)=0
所以(x->0)lim { ln[1+f(x)/sin2x]}=0
则有(x->0)limf(x)/sin2x=0,（否则原极限为∞）
等价无穷小ln(1+x)~x,3^x-1~xln3 ,sin2x~2x
于是
(x->0)lim { ln[1+f(x)/sin2x]}/(3^x-1)
=(x->0)lim [f(x)/2x]/(xln3)
=[1/(2ln3)]*{(x->0)[limf(x)/x^2]}=5
那么
(x->0)lim[f(x)/x^2]=10ln3