如图，BE、CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB．求证：AP⊥AQ．

题目

如图，BE、CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB．求证：AP⊥AQ．

答案

证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠ABE=∠ACQ=90°-∠BAC．
∵BP=AC，CQ=AB，
在△APB和△QAC中，

BP＝AC  ∠ABE＝∠ACQ  CQ＝AB

，
∴△APB≌△QAC（SAS）．
∴∠BAP=∠CQA．
∵∠CQA+∠QAF=90°，
∴∠BAP+∠QAF=90°．
即AP⊥AQ．

先证明△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，要熟练利用三角形全等的性质来证明角相等．