设（x²+y²)(a²+b²)=(ax+by)²,且xy≠0,ab≠0,试用向量方法证明x／a=y／b

题目

设（x²+y²)(a²+b²)=(ax+by)²,且xy≠0,ab≠0,试用向量方法证明x／a=y／b

答案

以下 (u.v) 表示 u点乘v.
= = = = = = = = =
证明：令 向量u=(x,y),向量v=(a,b).
则 u^2 = x^2 +y^2,
v^2 = a^2 +b^2.
(u.v) = ax +by.
由已知,
u^2 *v^2 =(u.v)^2.
即 |u|^2 *|v|^2 = |u|^2 *|v|^2 *(cos )^2.
又因为 xy≠0,ab≠0,
所以 u,v都是非零向量.
所以 cos = 正负1.
即 向量u,v 共线.
所以 存在实数t,使得
u =tv.
即 x =ta,
y =tb.
所以 x /a =y /b.
= = = = = = = = =
注意条件 xy≠0,ab≠0.
否则只能得到 bx =ay.