设函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围( ) A.a>6或a<-3 B.-3<a<6 C.a≥6或a≤-3 D.-3≤a≤6
题目
设函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围( )
A. a>6或a<-3
B. -3<a<6
C. a≥6或a≤-3
D. -3≤a≤6
答案
∵f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1∴f'(x)=3x2+2ax+(a+6)
∵函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值
∴△=(2a)2-4×3×(a+6)>0
∴a>6或a<-3
故选A.
先对函数进行求导,根据函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值,可以得到△>0,进而可解出a的范围.
利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.
本题主要考查函数在某点取得极值的条件,同时考查了利用导数研究函数的极值,属中档题.
举一反三
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