在Rt△ABC中,角C=90°AM是中线MN⊥AB垂足为N,请说明AN的平方-BN的平方=AC的平方

题目

在Rt△ABC中,角C=90°AM是中线MN⊥AB垂足为N,请说明AN的平方-BN的平方=AC的平方

答案

∵MN⊥AB
∴△AMN和△BMN是直角三角形
∴AN²=AM²-MN²……（1）
BN²=BM²-MN²……（2）
(1)-(2)得：AN²-BN²=AM²-BM²……（3）
∵∠C=∠ACM=90°即△ACM是直角三角形
∴AM²=AC²+CM²……（4）
∴AM是中线,即CM=BM
∴（4）代入（2）得AN²-BN²=AC²+CM²-BM²=AC²
即AN²-BN²=AC²