如何用公式来证明【在地球上】两个相同体积不同质量的球自由落体的落地时间不一样?

如何用公式来证明【在地球上】两个相同体积不同质量的球自由落体的落地时间不一样?

题目
如何用公式来证明【在地球上】两个相同体积不同质量的球自由落体的落地时间不一样?
答案
证:
设:物体1的质量是M、体积是V、加速度是a1、落地所需时间是t1;物体2的质量是m、体积是V、加速度是a2、落地所需时间是t2;两物体释放的高度是h;空气密度是ρ;两物体的初速度均为0.且M>m
物体1受到的力:向下的重力:Mg;向上的浮力:ρV.物体1受到的合力:Mg-ρV
由牛顿定律,有:Mg-ρV=M(a1),即:a1=(Mg-ρV)/M=g-ρV/M
由于:h=at²/2
所以:t1=√[2h/(a1)]=√[2h/(g-ρV/M)]
同理,有:
t2=√[2h/(g-ρV/m)]
(t1)/(t2)={√[2h/(g-ρV/M)]}/{√[2h/(g-ρV/m)]}
(t1)/(t2)=√{2h(g-ρV/m)/[2h(g-ρV/M)]}
(t1)/(t2)=√[(g-ρV/m)/(g-ρV/M)]
(t1)/(t2)=√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}
因为:M≠m
所以:√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}≠1
因此:t1≠t2.
证毕.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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