设a＞0,b＞0,若根号3是3的a次方与3的b次方的等比中项,求1/a+4/b最小值并求相应的a和b

题目

设a＞0,b＞0,若根号3是3的a次方与3的b次方的等比中项,求1/a+4/b最小值并求相应的a和b

答案

根号3是3的a次方与3的b次方的等比中项,则：
(√3)²=[3^a]×[3^b]=3^(a＋b)
得：a＋b=1
则：
M=(1/a)＋(4/b)
=[(1/a)＋(4/b)]×(a＋b)
=5＋[(4a)/(b)＋(b)/(a)]≥5＋4=9
则：M的最小值是9
此时,4a/b=b/a,即：b=2a,得：a=1/3,b=2/3