设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0,f(x)＜0,f(1)=-2,Ⅰ证明F(X)是奇函数

题目

设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0,f(x)＜0,f(1)=-2,Ⅰ证明F(X)是奇函数
Ⅱ证明F(x)在R上是减函数.

答案

(1)令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=0,再令x=-y,代入f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(x)+f(-x),所以是奇函数.
（2）因为x＞0,f(x)＜0,f(2)=f(1)+f(1)=-4,以此类推可得,所以x＞0时,f(x)的值单调递减,又因为F(x)是奇函数,根据其性质,可知F(x)在R上是减函数.