如果关于x的一元二次方程x^2+2(k+3)x+k^2+3=0有两个实数根a,b,那么(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为多少?

题目

如果关于x的一元二次方程x^2+2(k+3)x+k^2+3=0有两个实数根a,b,那么(a-1)^2+(b-1)^2的最小值为多少?

答案

有两个实数根
判别式大于等于0
4(k+3)^2-4(k^2+3)>=0
(k+3)^2-(k^2+3)>=0
6k+9-3>=0
k>=-1
韦达定理
a+b=-2(k+3)
ab=k^2+3
(a-1)^2+(b-1)^2
=a^2-2a+1+b^2-2b+1
=(a^2+b^2)-2(a+b)+2
=(a+b)^2-2ab-2(a+b)+2
=4(k+3)^2-2(k^2+3)+4(k+3)+2
=2k^2+28k+44
=2(k+7)^2-54
k>=-1
所以k=-1,最小值=18