戴德金分划对于实数强稠密性证明的问题

题目

戴德金分划对于实数强稠密性证明的问题
来自书：微积分学教程-- 菲赫金哥尔茨
命题如下：对于不论怎样的两个实数α及β,其中α>β,恒有一个位于他们中间的有理数r：α>r>β（这种有理数有无穷个）
证明如下：因α>β,故确定数α的分划的下组A整个包含确定β的下组B,且不与B重合,因此在A内必有有理数r,它不包含在B内,于是必属于B'.
我的困惑是,A内必有实数不包含在B内比较好理解,但如何证明A内必有有理数r不包含在B内,特别是两个分划α和β都是无理数的时候,如何证明两个无理数之间必至少有一个有理数呢?

答案

证明：任意两个无理数之间必有一个有理数证明：设α,β∈R,且α1,即β-α>(1/N) 任意取定有理数γ0,α-γ>0,故由阿基米德性,存在自然数m,使得γ+(m/N)>α.可见,数列{γ+(m/N)}中总有一项大于α.设 γ+(n(0)/N) 为此...