函数f(x)=3sin(x+φ)是偶函数的充要条件

题目

函数f(x)=3sin(x+φ)是偶函数的充要条件
答案是φ=π/2＋kπ,

答案

因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)
所以3sin(x+φ)=3sin(-x+φ)
所以3sin(x+φ)-3sin(φ-x)=0
所以3sin(x+φ)+3sin(x-φ)=0
所以3sinxcosφ+3cosxsinφ+3sinxcosφ-3cosxsinφ=0
所以6sinxcosφ=0
因为该式对任意x恒成立,所以cosφ=0
所以φ=π/2＋kπ