n*2^(n-1)+1是完全平方数; 求自然数n

题目

n*2^(n-1)+1是完全平方数; 求自然数n

答案

n=5,5*2^4+1=5*16+1=81=9^2 !
由于 n*2^(n-1)+1 一定为奇数数,所以设这个完全平方数为 (2a+1)^2
(2a+1)^2 = n*2^(n-1)+1
4a^2+4a+1= n*2^(n-1)+1
4a^2+4a = n*2^(n-1)
4a(a+1) = n*2^(n-1)
a(a+1) = n*2^(n-3)
所以得到 n*2^(n-3) 可写成两个相邻自然数的乘积形式,那么可知其中一个自然数是个奇数,从这个奇数里,我们无法提取2的因子,所以那个偶数就应该提供2的因子,而且应该尽可能的多,所以我们就从2的次方数开始考虑
2*3,不符合
4*5,得到n为5
同时也可以从n为3开始试
现在论证唯一性.由于2^n的递增速度比a^2要快,所以这两条区线在自然数集中只能有一个交点.
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