对每个正整数n,抛物线y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,|AnBn|表示该两点距离,

题目

对每个正整数n,抛物线y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,|AnBn|表示该两点距离,
求|A1B1|+|A2B2|+...+|AnBn|的值

答案

y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1
=((n+1)x-1)(nx-1)
x1=1/(n+1),x2=1/n
|AnBn|=1/n-1/(n+1)
|A1B1|+|A2B2|+...+|AnBn|=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4.+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)=n/(n+1)