已知,在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,求证：AC=AE+DC

题目

已知,在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,求证：AC=AE+DC

答案

在AC上取一点F,使得AF=AE,连接OF.下面证明：CF=CD
∵AD是角平分线
∴∠EAO=∠FA0
又AE=AF,AO=AO
∴:△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF
又∠B=60°
∴∠BAC+∠BCA=120°
∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)/2=60°
∴∠AOF=∠AOE=60°
∴∠COF==∠AOE=∠COD=180°-60°-60°=60° 
∵∠COF=∠COD
又∠OCD=∠OCF,OC=OC
∴△OCD≌△OCF（ASA）
∴CF=CD
∴AC=AF+CF=AE+CD