不定积分xdx/根号下x^2+2x+2=

题目

不定积分xdx/根号下x^2+2x+2=

答案

∫［x/√（x^2＋2x＋2）］dx
＝∫｛［（x＋1）－1］/√［（x＋1）^2＋1］｝dx
＝∫｛（x＋1）/√［（x＋1）^2＋1］｝dx－∫｛1/√［（x＋1）^2＋1］｝dx
＝（1/2）∫｛1/√［（x＋1）^2＋1］｝d［（x＋1）^2＋1］－∫｛1/√［（x＋1）^2＋1］｝dx
＝∫d｛√［（x＋1）^2＋1］｝－∫｛1/√［（x＋1）^2＋1］｝dx
＝√［（x＋1）^2＋1］－∫｛1/√［（x＋1）^2＋1］｝dx
＝√（x^2＋2x＋2）－∫｛1/√［（x＋1）^2＋1］｝dx.
令x＋1＝tanu,则：dx＝［1/（cosu）^2］du.
∴∫［x/√（x^2＋2x＋2）］dx
＝√（x^2＋2x＋2）－∫｛1/√［（tanu）^2＋1］｝［1/（cosu）^2］du
＝√（x^2＋2x＋2）－∫［cosu/（cosu）^2］du
＝√（x^2＋2x＋2）－∫｛1/［（1＋sinu）（1－sinu）］｝d（sinu）
＝√（x^2＋2x＋2）－（1/2）∫［1/（1＋sinu）＋1/（1－sinu）］d（sinu）
＝√（x^2＋2x＋2）－（1/2）∫［1/（1＋sinu）］d（sinu）－（1/2）∫［1/（1－sinu）］d（sinu）
＝√（x^2＋2x＋2）－（1/2）ln（1＋sinu）＋（1/2）ln（1－sinu）＋C
＝√（x^2＋2x＋2）＋（1/2）ln｛1＋tanu/√［（tanu）^2＋1］｝
　－（1/2）ln｛1－tanu/√［（tanu）^2＋1］｝＋C
＝√（x^2＋2x＋2）＋（1/2）ln｛√［（tanu）^2＋1］＋tanu｝
　－（1/2）ln｛√［（tanu）^2＋1］－tanu｝＋C
＝√（x^2＋2x＋2）＋（1/2）ln｛√［（x＋1）^2＋1］＋x＋1｝
　－（1/2）ln｛√［（x＋1）^2＋1］－x－1｝＋C
＝√（x^2＋2x＋2）＋（1/2）ln｛［√（x^2＋2x＋2）＋x＋1］^2｝＋C
＝√（x^2＋2x＋2）＋ln［√（x^2＋2x＋2）＋x＋1］＋C.