已知抛物线C₁的焦点与椭圆C2:x²/6+y²/5=1的右焦点重合,抛物线C₁的顶点在坐标原

题目

已知抛物线C₁的焦点与椭圆C2:x²/6+y²/5=1的右焦点重合,抛物线C₁的顶点在坐标原
点,过点M（4,0）的直线l与抛物线C₁分别教育A,B两点,求三角形AOB面积的最小值?

答案

椭圆C2:x²/6+y²/5=1的右焦点 F2(1,0)
已知抛物线C₁的焦点与椭圆C2:x²/6+y²/5=1的右焦点重合,抛物线C₁的顶点在坐标原点
p/2=1 2p=4
抛物线C₁方程为y^2=4x
设直线方程为 x=my+4
y^2=4my+16
y^2-4my-16=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
y1+y2=4m y1y2=-16
|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=√[16m^2+64]=4√(m^2+4)
S△ABO=S△AOM+S△BOM=1/2*|OM|*|y1|+1/2*|OM|*|y2|
=1/2*|OM|*(|y1|+|y2|)
=2|y1-y2|
=8√(m^2+4) 当m^2=0时
三角形AOB面积的最小值Smin=16