数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2/n Sn(n=1,2,3,...)

题目

数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2/n Sn(n=1,2,3,...)
证明:(1)数列｛Sn/n｝是等比数列.(2)Sn+1=4*an

答案

第一问：
假设数列｛Sn/n｝是等比数列,则有：
Sn/n=（s1/1)*q^(n-1)
=a1*q^(n-1)
=q^(n-1)
代入an+1=n+2Sn/n可得到：
an+1=n+nq^(n-1).（1）
只要求的q为定值,第一问就得到证明.
由等式an+1=n+2Sn/n,可到a2=3,a3=6...(2)
由（1）可得到a3=2+2q.(3)
(2)、(3)可求得q=2,为定值得证.
第二问：
从第一问中,我们得到：sn=n*2^(n-1);
则有：sn-1=(n-1)*2^(n-2)
sn+1=(n+1)*2^n.(4)
根据数列公式：an=sn-sn-1=n*2^(n-1)-(n-1)*2^(n-2)
=2^(n-2)*[n*2-(n-1)]
=2^(n-2)*(n+1)
所以要证明的等式右边=4an=2^n*(n+1)=(4)=左边,得证.