设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足f(a)＝1/2的a的值，并对此时的a值求y的最大值．

题目

设关于x的函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足f(a)＝

1

2

答案

令cosx=t，t∈[-1，1]，
则y=2t²-2at-（2a+1），对称轴t＝

a

2

，
当

a

2

＜−1，即a＜-2时，[-1，1]是函数y的递增区间，ymin＝1≠

1

2

；
当

a

2

＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，ymin＝−4a+1＝

1

2

，
得a＝

1

8

，与a＞2矛盾；
当−1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，ymin＝−

a2

2

−2a−1＝

1

2

，a2+4a+3＝0
得a=-1，或a=-3，
∴a=-1，
此时y_max=-4a+1=5．