棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,M为棱B1B的中点,求证平面EFB1垂直于平面D1C1M

题目

棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,M为棱B1B的中点,求证平面EFB1垂直于平面D1C1M

答案

设BC＝a（向量）,BA＝b,BB1＝c.M∈B1B,B1M＝tB1B
D1M＝D1A1+A1B1+B1M＝-a-b-tc
EB1＝EB+BB1＝-b/2+c.FB1＝-a/2+c.
D1M⊥EFB1.←→D1M⊥EB1且D1M⊥FB1←→D1M•EB1＝0.D1M•FB1＝0←→t＝1/2.
（D1M•EB1＝（-a-b-tc）•（-b/2+c.）＝1/2-t＝0.t＝1/2）
所以.当M是BB1中点时,D1M⊥平面EFB1.