如何求四分之一带点圆弧在圆心处激发的场强?已知电荷线密度、圆弧半径

题目

如何求四分之一带点圆弧在圆心处激发的场强?已知电荷线密度、圆弧半径
为神马要从-π/4积分到-π/4？

答案

在圆弧 1/8 处和圆心连线 l
在圆弧所在平面内,过圆心作 l 的垂线 l',场强在 l' 方向分量为 0 (对称性,两个 1/8 圆弧激发的电场相互抵消)
在 l 方向上,考虑一小段对应圆心角为 dθ 的圆弧 在圆心处激发的场强,(电荷线密度 k) 为
dE = kRdθ/4πεR^2 = kdθ/4πεR
它在 l 方向的分量
dE' = kcosθdθ/4πεR
积分,从 -π/4 积分到 π/4
E' = k/4πεR ( sin(π/4) - sin(-π/4) ) = sqrt(2) k/4πεR
1/4圆弧,l 为其对称轴,1/4圆弧的左右两边,被 l 平分,两端半径与 l 夹角分别是-π/4,π/4,对吧?