集合难题

题目

集合难题
已知集合A=【a1,a2,a3,a4,a5】集合B=【a1的平方,a2的平方,a3的平方,a4的平方,a5的平方】
已知a1

答案

缺了所有ai(i=1~5)为整数的条件,否则解有无穷多.
B中元素非负,a1属于B,ai(i=1~5)随下标严格递增,所以所有的ai(i=1~5)均非负,ai^2也随下标严格递增.由于a1,a4属于B,从而是完全平方数,且a1+a4=10,故a1=1,a4=9=3^2,于是a2,a3其一必为3.
若a3=3,则必有a2=2,已知A∪B中元素的和为224,即：1+2+3+9+a5+4+81+a5^2=224,此时a5不是整数.
只有a2=3,再由A∪B中元素的和为224,可得：
1+3+a3+9+a5+a3^2+81+a5^2=224,
a3+a5+a3^2+a5^2=130,(*)
由于4≤a3≤8,a5≥10,若a5≥11,(*)左端大于130,只有a5=10.从而
a3+a3^2=20,解得a3=4.
所以集合A={1,3,4,9,10}