求证:√2+√3+√5是无理数

题目

求证:√2+√3+√5是无理数

答案

没想到这么难证……
假设√2+√3+√5是有理数,设为a,
那么√2+√3=a-√5,两边平方得：5+2√6=a^2+5-2√5a
所以2√6+2√5a=a^2,两边平方得：24+20a^2+8√30a=a^4,
所以√30是有理数,设√30=p/q((p,q)=1),
所以30q^2=p^2,由于30=2^1*3^1*5^1,q^2中2、3、5的次数为偶数,所以30q^2中2、3、5的次数为奇数,而p^2中2、3、5的次数必为偶数,矛盾
所以√2+√3+√5是无理数……