如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以1cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CB向点B以9cm/s的速度移
题目
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以1cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CB向点B以9cm/s的速度移动,若有一点运动到端点时,另一点也随之停止.如果P、Q同时出发,能否有四边形PQCD成为等腰梯形?如果存在,求经过几秒?如果不存在,请说明理由.
答案
设PQCD是等腰梯形时,过了t秒,
此时在梯形PQCD中,PD∥CQ,PQ=CD;
分别过P、D点作BC的垂线,分别交BC于E,F,
∵AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,∠B=90°,
∴PE=DF=AB=14,
∴CF=BC-AD=21-18=3,
∵经过t秒,AP=t,CQ=9t,
∴PD=18-t,QE=CQ-EF-CF=9t-(18-t)-3=10t-21;
根据勾股定理:
PQ
2=PE
2+QE
2,
CD
2=DF
2+CF
2,
∵PQ=CD,
∴PE
2+QE
2=DF
2+CF
2,
将数值代入得:14
2+(10t-21)
2=14
2+3
2,
求得t=2.4或1.8,
然而当t=2.4时,Q点运动距离为9×2.4=21.6>21,不满足要求,故舍掉,
∴当t=1.8时,PD=18-1.8=16.2,QC=1.8×9=16.2,PD=QC,
∴四边形PQCD为平行四边形;
故不存在等腰梯形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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