试讨论函数f（x）=logax+1/x-1（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．

题目

试讨论函数f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．

答案

设u=

x+1

x-1

，任取x₂＞x₁＞1，则
u₂-u₁=

x2+1

x2-1

-

x1+1

x1-1

=

(x2+1)(x1-1)-(x1+1)(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

=

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

．
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0．
又∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．
∴

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

＜0，即u₂＜u₁．
当a＞1时，y=log_ax是增函数，∴log_au₂＜log_au₁，
即f（x₂）＜f（x₁）；
当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，∴log_au₂＞log_au₁，
即f（x₂）＞f（x₁）．
综上可知，当a＞1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上为增函数．

将函数f（x）看作是由y=log_a^u和u=

x+1

x-1

两个函数复合而来，先证用单调性定义证明u=

x+1

x-1

的单调性，再用复合函数单调性的结论（同增异减）得到结论．

本题考点：函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题主要考查复合函数的单调性，要注意定义域．