不等式题目：在△ABC中请证明sinA+sinB+sinC≤cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)

题目

不等式题目：在△ABC中请证明sinA+sinB+sinC≤cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)
如题所示sinA+sinB+sinC≤cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2),请证明这个式子,
还有一个类似的cosA+cosB+cosC≤sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)也请专家证明

答案

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]≤2sin[(A+B)/2]=2cosC/2
同理,sinB+sinC≤2cosA/2,sinC+sinA≤2cosB/2
三式相加,得2(sinA+sinB+sinC)≤2[cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)],从而得到想要的不等式
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]≤2cos[(A+B)/2]=2sinC/2
同理,cosB+cosC≤2sinA/2,cosC+cosA≤2sinB/2
三式相加,得2(cosA+cosB+cosC)≤2[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)],从而得到想要的不等式
且都容易看到取等号当且仅当ABC为等边三角形